A noção moderna da integral de Riemann foi finalizada por Gaston Darboux (1842-1917), que demonstrou que uma função é integrável, ou tem sua área mensurável, quando as somas superior e inferior de Riemann convergem para o mesmo valor, à medida em que os subintervalos tendem a zero, para qualquer partição usada.

Porém, mesmo com a generalização do conceito de medida, usando a integral, alguns Matemáticos descobriram funções que não podiam ser integradas, ou seja, suas áreas não tinham como ser medidas com a régua de Riemann.

Lejeune Dirichlet (1805-1859), foi um dos responsáveis pelo impasse, ao considerar uma função que assume o valor unitário, para valores do conjunto dos racionais, e zero, para pontos no conjunto dos irracionais. Ambos são subconjuntos do conjunto dos números reais.

O conjunto dos irracionais é não enumerável, assim como o conjunto dos reais. Ele é denso e tem cardinalidade do contínuo, enquanto o conjunto dos racionais tem mesma potência do conjunto dos números naturais, ou seja, é contável. A função de Dirichlet tem então um número infinito de descontinuidades, e não pode ser medida com a integral de Riemann. É como usar uma régua para medir um comprimento que está recheado de buracos.

O conceito formal de medida, derivado inicialmente da mensuração de comprimentos e áreas, precisava ser estabelecido. Ele sempre foi ligado, no caso da reta, por exemplo, à medida ou conteúdo de um intervalo determinado. Camille Jordan (1838-1922) e Giuseppe Peano (1858-1932) introduziram a idéia de conteúdo interno e externo de um conjunto, precursora da noção formal de medida.

Félix Edouard Justin Émile Borel (1871-1956) criou a primeira teoria da medida de conjunto de pontos. Ele redefiniu o conteúdo de um conjunto como sua medida, a partir do trabalho de Georg Cantor (1845-1918). E também definiu a medida da união de conjuntos como a soma das medidas individuais e mostrou que conjuntos de medida não nula são não enumeráveis, ou seja, não podem ser colocados em correspondência biunívoca (todos os elementos emparelhados) com os números naturais.

O raciocínio pode ser posto da seguinte maneira: a medida de um subintervalo da reta que contém apenas um ponto é certamente zero, porque um ponto não ocupa espaço. Um conjunto finito de tais pontos também tem medida zero, porque seria o somatório de medidas nulas. Um conjunto enumerável (contável) de pontos, mesmo que seja infinito, apesar de ser mais difícil de visualizar, também tem medida nula.

Na função apresentada por Dirichlet, os pontos racionais são levados, ou mapeados, na unidade, mas todos têm medida nula. Então, a medida de qualquer subintervalo dessa função deveria depender apenas dos números irracionais.

O estudo do contínuo, que envolve conjuntos incontáveis, infinitos ainda maiores que outros infinitos e números transfinitos, foi desenvolvido por Cantor. A medição desses conjuntos, e das funções das quais são domínios, foi o trabalho de Henri Lebesgue - o matemático que sabia medir.