Seu raciocínio era o seguinte. Se uma flecha for lançada em direção a um alvo, ela deve inicialmente percorrer metade da distância. Em seguida, mais metade da distância restante, e assim por diante. Como as distâncias se tornam menores a cada iteração, a flecha acabaria parada no ar! Claro, esse problema é hoje solucionado com o uso de convergência de séries infinitas, mas esse conceito não estava disponível naquele tempo.

Johannes Kleper (1571-1630) pensou nas áreas de figuras planas e volumes de sólidos como um número infinito de elementos infinitesimais, provavelmente influenciado pelo antigo método da exaustão. Galileu Galilei (1564-1642) desenvolveu um método de integração, mostrando que, para aceleração uniforme, a área sob a curva velocidade versus tempo era a distância percorrida. Ele chegou muito perto do teorema fundamental do Cálculo. Bonaventura Cavalieri (1598-1647) usou as idéias de Kepler e Galileu, e deu continuidade ao estudo de áreas de figuras planas e volumes a partir de indivisíveis.

O desenvolvimento do método geral de cálculo só foi possível graças ao trabalho independente de Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Ambos concluiram que a integração era a operação inversa da diferenciação, apesar de não terem formulado isso de forma precisa.

Newton criou os fluxions, que ele usava para ilustrar a noção de incremento. Leibniz descobriu o cálculo enquanto lidava com seqüências de funções. Ele é responsável pela criação do símbolo de integral, assim como do diferencial. A idéia da integração como uma soma e da diferenciação como um tipo de subtração levou Leibniz a pensar na integral e derivada como processos inversos.

O tratamento rigoroso da integração foi o trabalho de Augustin Louis Cauchy (1789-1857), que definiu e provou a existência da integral de uma função contínua como o somatório do produto de valores da função por partições associadas do intervalo de medida. Ele também demonstrou o teorema fundamental do Cálculo, usando sua definição, e estudou as integrais impróprias.

Muitos estudantes de Engenharia e Matemática gostariam que essas integrais, por serem impróprias, não devessem ser mostradas abertamente, talvez por não terem limites ou, quem sabe, por apresentarem o infinito como limite inferior ou superior.